Фізика для ...всіх

Механіка точки

Sergey — Thu, 18 Oct 2012 21:59:54 GMT

2. МЕХАНИКА ТОЧКИ
http://komp-model.narod.ru/gl-2.htm

Задача 2.1.

Промоделируйте скольжение материальной точки по циклоидальной горке в поле тяжести. Убедитесь в том, что циклоида является таутохроной, то есть время скольжения к основанию горки не зависит от точки запуска.

Рис. 2.1. К доказательству таутохронных свойств циклоиды.

Исследуем скольжение точки по циклоидальной горке и вычислим время движения при различных начальных положениях точки (рис. 2.1). Запишем уравнения циклоиды и выразим параметр α:

Чтобы определить угол β, найдем координаты двух близко расположенных точек, соответствующих значениям параметра α₁, α₂ и выразим угол β между касательной к траектории и осью Oy равен:

Для расчета тангенциального ускорения точки, скорости и координат используются формулы:

Таким образом, программа ПР - 2.1, моделирующая скольжение тела по циклоидальной горке, должна содержать цикл по времени , в котором будут пересчитываться координаты и скорости частицы, осуществляться построения ее изображения на экране, вычисляться время движения, которое также выводится на экран. Изменяя начальное значение α, можно запускать точку с различных положений. При отсутствии трения (rs=0) время скольжения не зависит от точки запуска (в пределах погрешности вычислений).

Задача 2.2.

С помощью вычислительного эксперимента убедитесь в том, что циклоида является брахистохроной -- кривой наибыстрейшего спуска.

Рассмотрим скольжение частицы массой m по циклоидальной горке в однородном поле тяжести. Исходя из параметра α, можно вычислить координаты частицы x₁ и y₁. Если параметру α дать малое приращение Δα и рассчитать соответствующие координаты x₂, y₂, то элементарное перемещение ΔS можно найти по формуле:

Скорость v вычисляется из закона сохранения механической энергии: v=(2gy)^1/2. Это позволяет определить промежуток времени Δt=ΔS/v, в течение которого частица, двигаясь со скоростью v, прошла расстояние ΔS. Суммируя элементарные промежутки времени Δt можно получить общее время скольжения частицы по кривой из точки O(0,0) до точки A(πR, 2R). Допустим, необходимо сравнить время скольжения частицы по циклоиде с аналогичным временем движения по другой кривой, достаточно близкой к циклоиде и проходящей через точки O(0,0) и A(πR, 2R). Эти кривые могут быть заданы уравнениями:

где k -- некоторый параметр. Видно, что независимо от значения k при кривые соединяют точки O(0,0) и A(πR, 2R). При k=1 получается циклоидальная траектория. В программе можно создать цикл, в котором с некоторым шагом будет изменяться параметр k и вычисляться время движения материальной точки по соответствующей кривой. При k=1 время должно быть минимально. Текст используемой программы ПР - 2 приводится ниже. При ее запуске на экране рисуются траектории, соответствующие различным значениям (рис. 2.2), и рассчитывается время движения частицы и выводится на экран. Из результатов вычислительного эксперимента следует, что минимальным является время движения по циклоиде (k=1).

Рис. 2.2. К доказательству брахистохронных свойств циклоиды.

Задача 2.3.

Промоделируйте скольжение частицы по сферической поверхности и ее движение после отрыва. Найдите точку отрыва.

Допустим, шайба скользит по шероховатой сферической поверхности и отрывается от нее на некоторой высоте h. Необходимо рассчитать траекторию шайбы и время движения. Из второго закона Ньютона можно вычислить ускорение, скорость и координаты точки в последовательные моменты времени:

В момент отрыва шайба движется с ускорением g, при этом ее нормальное ускорение равно:

После отрыва от сферической поверхности шайба движется под действием силы тяжести:

Используется программа ПР - 2.3, в ней определяется высота h отрыва шайбы и общее время движения, которое выводится на экран. Результат моделирования приведен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Скольжение частицы по сферической поверхности.

Задача 2.4.

Изучите движение лыжника, скатывающегося с горы и прыгающего с трамплина на склон. Профили горки и склона заданы.

Пусть профиль горки и склона, на который прыгает лыжник, задаются уравнениями:

Для расчета движения лыжника используются уравнения:

Программа ПР - 2.4 содержит цикл по времени, в котором пересчитываются координаты и скорость лыжника в последовательные моменты времени, а результаты выводятся на экран (рис. 2).

Рис. 2.4. Движение лыжника.

Задача 2.5.

Из пушки вылетает снаряд с известной скоростью. Определить угол под которым необходимо произвести выстрел для того, чтобы снаряд попал в цель. Сила сопротивления, действующая на снаряд, пропорциональна его скорости.

При движении снаряда на него со стороны воздуха действует сила вязкого трения. Запишем второй закон Ньютона в конечных разностях:

Для решения задачи используется метод стрельбы: в программе ПР - 2.5 определяется траектория движения снаряда при заданной начальной скорости и произвольном угле α между стволом орудия и горизонталью. Если снаряд не поразил цель, то угол α увеличивают на некоторый шаг Δα и повторяют расчет, затем еще раз и еще раз до тех пор, пока снаряд не попадет в цель. Искомое значение угла в радианах выводится на экран компьютера. Задача имеет два решения. На рис. 2.5 показан метод нахождения одного из них.

Рис. 2.5. Определение направления ствола методом стрельбы.

Задача 2.6.

Ракета движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса r. При однократном включении двигателя в течение заданного интервала времени скорость ракеты увеличивается в k раз. Промоделируйте переход спутника на круговую орбиту с большим радиусом R.

Свяжем с центром Земли инерциальную систему отсчета. На спутник действует сила гравитационного притяжения, проекции его ускорения, скорости, а также его координаты в последовательные моменты времени вычисляются по формулам:

В программе ПР - 2.6 моделируется переход спутника с одной круговой орбиты на другую более высокую орбиту. Для этого в моменты времени t=20000 и t=40000 следует на небольшое время включить двигатели так, чтобы скорость спутника возросла в k раз. Результат расчета траектории движения спутника представлен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Переход спутника на более высокую орбиту.

ВВЕРХ

Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы [Электронный ресурс]. -- Глазов: ГГПИ, 2012. (Web-site http://maier-rv.glazov.net)

Механіка твердого тіла

Sergey — Thu, 18 Oct 2012 21:58:35 GMT

4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 4.1.

Стержень устанавливают на горизонтальную поверхность так, чтобы он образовывал некоторый угол с вертикалью и отпускают. Необходимо рассчитать координаты его концов при падении в последовательные моменты времени.

Рис. 4.1.1. Падение стержня на горизонтальную поверхность.

Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек m₁и m₂, связанных между собой невесомым упругим стержнем. Длина стержня в недеформированном состоянии равна l₀, при его сжатии возникают силы упругости F₁ и F₂. Будем считать, что нижний конец стержня A скользит по горизонтальной поверхности, не отрываясь от нее (y₁=0). При этом на него действует сила вязкого трения F_ТР, пропорциональная скорости и направленная в сторону противоположную движению. Проекции сил, действующих на материальные точки m₁ и m₂, вычисляются из формул:

В программе ПР - 4.1 в последовательные моменты времени пересчитывают силы, действующие на материальные точки, их ускорения, скорости и координаты. Результаты моделирования падения стержня при различных значениях коэффициента сопротивления r представлены на рис. 4.1.2. При необходимости можно рассчитать траекторию движения центра масс стержня, зависимость его угла наклона от времени и т.д.

Рис. 4.1.2. Результаты моделирования падения стержня.

Задача 4.2.

Лестницу прислоняют к стене и отпускают. Напишите программу, моделирующую падение лестницы, если известно, что ее концы с трением скользят по поверхностям стены и пола, не отрываясь от них.

Рис. 4.2. Падение стержня на горизонтальную поверхность.

Вместо лестницы рассмотрим систему двух материальных точек массами m₁ и m₂, соединенных невесомым упругим стержнем жесткостью k и длиной l₀. Эти точки как бы скользят по вертикальной и горизонтальной направляющим, при этом на них действует сила вязкого трения, прямо пропорциональная скорости и направленная в противоположную сторону. Найдем действующие на точки силы:

Программа ПР - 4.2 содержит цикл по времени в котором вычисляются силы, действующие на материальные точки, определяются их ускорения, скорости и координаты, а также координаты центра масс. На экране монитора изображается положение лестницы в последовательные моменты времени.

Рис. 4.2. Падение стержня на горизонтальную поверхность.

Задача 4.3.

Промоделируйте плоское движение тела в поле тяжести, при котором его центр масс движется по кривой, а само тело вращается вокруг центра масс. Используйте модель состоящую из двух материальных точек, связанных упругим стержнем.

Рис. 4.3.1. К вычислению массы, объема и координат центра масс тела.

Рассмотрим систему из двух материальных точек, соединенных упругим стержнем. Проекции сил, действующих на точки, могут быть вычислены по формулам:

Программа ПР - 4.3 содержит цикл по времени, в котором вычисляются действующие силы, ускорения, скорости и координаты точек. На экране строятся положения стержня в последовательные моменты времени. Программа позволяет промоделировать: 1) отскок стержня от стены и пола; 2) движение системы в случае, когда массы точек сильно отличаются; 3) движение системы при не очень большой жесткости стержня.

Рис. 4.3.2. Движение палки в поле тяжести.

Задача 4.4.

На тележке массой m₁ подвешен маятник, состоящий из тела массой m₂ и нити длиной l. Маятник выводят из положения равновесия и отпускают. В подшипниках тележки действует сила вязкого трения. Напишите программу, моделирующую затухающие колебания системы.

Рис. 4.4.1. Движение тележки с маятником.

Заменим систему "маятник-тележка" системой, состоящей из двух материальных точек m₁ и m₂, связанных упругим стержнем жесткостью k и длиной l₀. Материальная точка m₁способна скользить по горизонтальной линии так, что ее координата y₂ остается постоянной. При этом на нее действует сила вязкого трения, направленная противоположно скорости и пропорциональная ее величине. Проекции сил, действующих на точки системы, вычисляются по формулам:

В предлагаемой программе ПР - 4.4 осуществляется расчет действующих на точки сил, а также проекций их ускорений, скоростей и координат в последовательные моменты времени. Результаты моделирования представлены на рис. 4.4.

Рис. 4.4.2. Колебания маятника на тележке.

Задача 4.5.

На горизонтальной поверхности покоится кольцо (труба), к внутренней стороне которого прикреплен груз. Расстояние от оси кольца до его центра масс известно. Кольцо смещают из положения равновесия и отпускают. Изучите: 1) колебания кольца относительно положения равновесия; 2) движение кольца после того, как ему сообщили начальную скорость.

Рис. 4.5.1. Колебания кольца со смещенным центром тяжести.

Необходимо рассчитать расстояние от центра кольца O до центра масс C, момент M силы тяжести, момент инерции I относительно мгновенной оси вращения A. Для этого используют формулы:

Зная момент силы и момент инерции, определяют угловое ускорение тела в последовательные моменты времени, вычисляют угловую скорость и угол поворота, горизонтальную координату центра кольца. При этом используется программа ПР-1, результаты представлены на рис. 4.5.2, 4.5.3. Чтобы промоделировать качение кольца со смещенным центром масс, следует задать начальную скорость (рис. 4.5.4).

Рис. 4.5.2. Зависимость угла поворота от времени.

Рис. 4.5.3. Колебания кольца на горизонтальной поверхности.

Рис. 4.5.4. Качение кольца со смещенным центром масс.

Задача 4.6.

Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда плавает на поверхности жидкости. Координаты центра масс, плотности жидкости и бруска известны. Определите расположение бруска относительно поверхности жидкости.

Рис. 4.6.1. К расчету положения тела.

Расположение бруска относительно поверхности воды однозначно определяется величинами d и φ (рис. 4.6.1). Пусть a=3, b=1. Задача решается так. Положим, что φ=0. Будем увеличивать d от -3 с некоторым шагом, каждый раз вычисляя объем погруженной части бруска и определяя силу Архимеда. Плотность бруска ρ меньше плотности жидкости ρ₀, поэтому сила Архимеда превысит силу тяжести, когда тело не полностью погрузится в жидкость. Нарисуем поверхность жидкости AB и определим положение центра плавучести P.

Брусок будет находиться в положении устойчивого равновесия тогда, когда центр масс C находится точно под центром плавучести P, то есть углы φ и φ₁ равны. Если это условие не выполняется, будем увеличивать угол φ с некоторым шагом, каждый раз определяя величину d, положение центра плавучести P и проверяя равенство углов φ и φ₁ (оно может выполняться с небольшой погрешностью). Когда углы φ и φ₁ окажутся равными, программы должна вывести результат вычислений.

Для нахождения объема погруженной части тела Vp необходимо найти площадь S фигуры, выделенной точками. Для этого используется метод прямоугольников:

 
For i:=-100 to 100 do begin
x:=dx*i; y:=sin(fi)/cos(fi)*x+d;
If y>b then y:=b; If y<-b then y:=-b;
S:=S+(y+b)*dx;
end;

Чтобы найти координаты xpl и ypl центра плавучести, внутрь прямоугольника случайным образом бросим 100000 точек и подсчитаем количество точек, попавших в заштрихованную область S, соответствующую погруженной части тела. Используется следующий фрагмент программы:

 
Repeat x:=(random(200)/100-1)*a;
y:=(random(200)/100-1)*b;
yl:=sin(fi)/cos(fi)*x+d; inc(N);
if y100000;
xpl:=sx/(nn+0.01); ypl:=sy/(nn+0.01);

Результаты работы программы ПР - 4.6 представлены на рис. 4.6.2 и 4.6.3. Программа рисует прямоугольное сечение бруска и определяет положение поверхности жидкости AB и центра плавучести. Сила Архимеда направлена вдоль вертикали MN. В состоянии устойчивого равновесия центр масс C и центр плавучести P лежат на одной вертикали MN. Изображение, получающееся на экране монитора, представлено в левой части рис. 4.6.2 и 4.6.3.

Рис. 4.6.2. Устойчивое состояние плавающего тела.

Рис. 4.6.3. Устойчивое состояние плавающего тела.