4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА |
 | Задача 4.1. Стержень устанавливают на горизонтальную поверхность так, чтобы он образовывал некоторый угол с вертикалью и отпускают. Необходимо рассчитать координаты его концов при падении в последовательные моменты времени. |
Рис. 4.1.1. Падение стержня на горизонтальную поверхность. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек m1и m2, связанных между собой невесомым упругим стержнем. Длина стержня в недеформированном состоянии равна l0, при его сжатии возникают силы упругости F1 и F2. Будем считать, что нижний конец стержня A скользит по горизонтальной поверхности, не отрываясь от нее (y1=0). При этом на него действует сила вязкого трения FТР, пропорциональная скорости и направленная в сторону противоположную движению. Проекции сил, действующих на материальные точки m1 и m2, вычисляются из формул: 
В программе ПР - 4.1 в последовательные моменты времени пересчитывают силы, действующие на материальные точки, их ускорения, скорости и координаты. Результаты моделирования падения стержня при различных значениях коэффициента сопротивления r представлены на рис. 4.1.2. При необходимости можно рассчитать траекторию движения центра масс стержня, зависимость его угла наклона от времени и т.д. |  |
Рис. 4.1.2. Результаты моделирования падения стержня.  | Задача 4.2. Лестницу прислоняют к стене и отпускают. Напишите программу, моделирующую падение лестницы, если известно, что ее концы с трением скользят по поверхностям стены и пола, не отрываясь от них. |
Рис. 4.2. Падение стержня на горизонтальную поверхность. Вместо лестницы рассмотрим систему двух материальных точек массами m1 и m2, соединенных невесомым упругим стержнем жесткостью k и длиной l0. Эти точки как бы скользят по вертикальной и горизонтальной направляющим, при этом на них действует сила вязкого трения, прямо пропорциональная скорости и направленная в противоположную сторону. Найдем действующие на точки силы: 
Программа ПР - 4.2 содержит цикл по времени в котором вычисляются силы, действующие на материальные точки, определяются их ускорения, скорости и координаты, а также координаты центра масс. На экране монитора изображается положение лестницы в последовательные моменты времени. |  |
Рис. 4.2. Падение стержня на горизонтальную поверхность. | Задача 4.3. Промоделируйте плоское движение тела в поле тяжести, при котором его центр масс движется по кривой, а само тело вращается вокруг центра масс. Используйте модель состоящую из двух материальных точек, связанных упругим стержнем. |
Рис. 4.3.1. К вычислению массы, объема и координат центра масс тела. Рассмотрим систему из двух материальных точек, соединенных упругим стержнем. Проекции сил, действующих на точки, могут быть вычислены по формулам: 
Программа ПР - 4.3 содержит цикл по времени, в котором вычисляются действующие силы, ускорения, скорости и координаты точек. На экране строятся положения стержня в последовательные моменты времени. Программа позволяет промоделировать: 1) отскок стержня от стены и пола; 2) движение системы в случае, когда массы точек сильно отличаются; 3) движение системы при не очень большой жесткости стержня. | |
Рис. 4.3.2. Движение палки в поле тяжести. | Задача 4.4. На тележке массой m1 подвешен маятник, состоящий из тела массой m2 и нити длиной l. Маятник выводят из положения равновесия и отпускают. В подшипниках тележки действует сила вязкого трения. Напишите программу, моделирующую затухающие колебания системы. |
Рис. 4.4.1. Движение тележки с маятником. Заменим систему "маятник-тележка" системой, состоящей из двух материальных точек m1 и m2, связанных упругим стержнем жесткостью k и длиной l0. Материальная точка m1способна скользить по горизонтальной линии так, что ее координата y2 остается постоянной. При этом на нее действует сила вязкого трения, направленная противоположно скорости и пропорциональная ее величине. Проекции сил, действующих на точки системы, вычисляются по формулам: 
В предлагаемой программе ПР - 4.4 осуществляется расчет действующих на точки сил, а также проекций их ускорений, скоростей и координат в последовательные моменты времени. Результаты моделирования представлены на рис. 4.4. | |
Рис. 4.4.2. Колебания маятника на тележке. | Задача 4.5. На горизонтальной поверхности покоится кольцо (труба), к внутренней стороне которого прикреплен груз. Расстояние от оси кольца до его центра масс известно. Кольцо смещают из положения равновесия и отпускают. Изучите: 1) колебания кольца относительно положения равновесия; 2) движение кольца после того, как ему сообщили начальную скорость. |
Рис. 4.5.1. Колебания кольца со смещенным центром тяжести. Необходимо рассчитать расстояние от центра кольца O до центра масс C, момент M силы тяжести, момент инерции I относительно мгновенной оси вращения A. Для этого используют формулы: 
Зная момент силы и момент инерции, определяют угловое ускорение тела в последовательные моменты времени, вычисляют угловую скорость и угол поворота, горизонтальную координату центра кольца. При этом используется программа ПР-1, результаты представлены на рис. 4.5.2, 4.5.3. Чтобы промоделировать качение кольца со смещенным центром масс, следует задать начальную скорость (рис. 4.5.4). | |
Рис. 4.5.2. Зависимость угла поворота от времени. 
Рис. 4.5.3. Колебания кольца на горизонтальной поверхности. 
Рис. 4.5.4. Качение кольца со смещенным центром масс. | Задача 4.6. Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда плавает на поверхности жидкости. Координаты центра масс, плотности жидкости и бруска известны. Определите расположение бруска относительно поверхности жидкости. |
Рис. 4.6.1. К расчету положения тела. Расположение бруска относительно поверхности воды однозначно определяется величинами d и φ (рис. 4.6.1). Пусть a=3, b=1. Задача решается так. Положим, что φ=0. Будем увеличивать d от -3 с некоторым шагом, каждый раз вычисляя объем погруженной части бруска и определяя силу Архимеда. Плотность бруска ρ меньше плотности жидкости ρ0, поэтому сила Архимеда превысит силу тяжести, когда тело не полностью погрузится в жидкость. Нарисуем поверхность жидкости AB и определим положение центра плавучести P. Брусок будет находиться в положении устойчивого равновесия тогда, когда центр масс C находится точно под центром плавучести P, то есть углы φ и φ1 равны. Если это условие не выполняется, будем увеличивать угол φ с некоторым шагом, каждый раз определяя величину d, положение центра плавучести P и проверяя равенство углов φ и φ1 (оно может выполняться с небольшой погрешностью). Когда углы φ и φ1 окажутся равными, программы должна вывести результат вычислений. Для нахождения объема погруженной части тела Vp необходимо найти площадь S фигуры, выделенной точками. Для этого используется метод прямоугольников:
For i:=-100 to 100 do begin
x:=dx*i; y:=sin(fi)/cos(fi)*x+d;
If y>b then y:=b; If y<-b then y:=-b;
S:=S+(y+b)*dx;
end;
Чтобы найти координаты xpl и ypl центра плавучести, внутрь прямоугольника случайным образом бросим 100000 точек и подсчитаем количество точек, попавших в заштрихованную область S, соответствующую погруженной части тела. Используется следующий фрагмент программы:
Repeat x:=(random(200)/100-1)*a;
y:=(random(200)/100-1)*b;
yl:=sin(fi)/cos(fi)*x+d; inc(N);
if y100000;
xpl:=sx/(nn+0.01); ypl:=sy/(nn+0.01);
Результаты работы программы ПР - 4.6 представлены на рис. 4.6.2 и 4.6.3. Программа рисует прямоугольное сечение бруска и определяет положение поверхности жидкости AB и центра плавучести. Сила Архимеда направлена вдоль вертикали MN. В состоянии устойчивого равновесия центр масс C и центр плавучести P лежат на одной вертикали MN. Изображение, получающееся на экране монитора, представлено в левой части рис. 4.6.2 и 4.6.3. | |
Рис. 4.6.2. Устойчивое состояние плавающего тела. 
Рис. 4.6.3. Устойчивое состояние плавающего тела.
|